P1036 [NOIP2002 普及组] 选数

前言

感觉这道题挺不错，学习了两种不同的暴力枚举解法，所以整理了一下题解发在这里。

题目描述

已知 n个整数 x1,x2,⋯ ,xn，以及 1 个整数 k（k<n）。从 n 个整数中任选 k 个整数相加，可分别得到一系列的和。例如当 n=4，k=3，4 个整数分别为 3,7,12,19时，可得全部的组合与它们的和为：

3 + 7 + 12 = 22

3 + 7 + 19 = 29

7 + 12 + 19 = 38

3 + 12 + 19 = 34

现在，要求你计算出和为素数共有多少种。

例如上例，只有一种的和为素数：3+7+19=29。

解法1-子集枚举

解法思路

以下内容摘自 《洛谷深入浅出》，具体请看书本147页

本题可以认为是从一个有n个数字的集合中挑选出一些数字（也就是子集），然后判断该子集是否满足某个性质（其和是质数）。

集合枚举的意思是从一个集合中找出它的所有子集。本题利用二进制数来进行子集枚举。

我们用1表示元素的存在，0表示元素的不存在，然后列表（部分）表示一些集合：

A中元素 1 2 3 4 5 二进制 对应十进制
在A1中的出现情况 1 0 1 1 1 11101 a1=29
在A2中的出现情况 1 0 0 1 1 11001 a2=25
在A3中的出现情况 0 0 1 0 0 00100 a3=4
在A4中的出现情况 0 1 1 0 0 00110 a4=6

从上表中我们可以发现二进制数和集合的联系。

同时我们通过位移运算来构造仅包含第i（1<=i<=5)个元素的集合的数字，即1<<(i-1)，还能构造全集(1<<n)-1，n表示元素个数。

一些集合的常用关系有以下几种：

  • 并集：a1 | a2
  • 交集：a1 & a2
  • 包含：(a1 | a2 == a1) &&(a1 & a2 == a2)
  • 属于：1 << (i-1) & a1 ，i表示第几个元素
  • 补集：a^a1，a表示全集，^为c++的异或运算

有了上述思路之后，我们就可以开始解题了。

代码实现

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#include <iostream>
using namespace std;

int a[30]; 

bool is_prime(int n) { // 判断质数 
	if (n == 1) return false;
	bool status = true;
	for (int i=2; i * i <= n; i++) {
		if (n % i == 0) {
			status = false;
			break;
		}
	}
	return status;
}

int main() {
	int n,k,ans=0;
	cin >> n >> k;
	for (int i=0; i < n; i++)
		cin >> a[i];
	int U = (1 << n) - 1; // U为全集
	for(int S=0; S <= U; S++) { // 枚举所有子集
		if (__builtin_popcount(S) == k) { // 找到k元子集 
			int sum = 0;
			for (int i = 0; i < n; i++)
				if (S & (1 << i)) sum += a[i]; // 如果第i个元素在S中 
			if (is_prime(sum)) ans++;
		}
	} 
	cout << ans;
	
    return 0;
}

解法2-递归枚举

解法思路

该解法内容基本完全摘自 https://www.luogu.com.cn/article/tle6xrur

这题的难点是：如何去重？
答案是：不降原则

不降原则

举个例子：
比如说在6里面随便选5个数，那么选法都是什么呢？
瞎枚举？
12345
12346
前两个还不会弄混
然后很可能就乱了
少点数可能不会乱
但是多了就不好整了
比如说在100里随便选50个数。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12……
Die.
所以我们可以运用不降原则：
保证枚举的这些数是升序排列
其实真正的不降原则还可以平
比如 1 2 2 3 3 4……
但是请注意这道题也不能平
否则就有重复数字了

拿6个里面选3个举例子
1 2 3
1 2 4
1 2 5
1 2 6
第一轮枚举完毕。
第二个数加一
1 3 ？
这个“？”应该是4，因为是升序排列
1 3 4
1 3 5
1 3 6
接着，就是这样
1 4 5
1 4 6
1 5 6
第一位是1枚举完毕
第一位是2呢?
2 3 4
2 3 5
2 3 6
2 4 5
2 4 6
2 5 6
就是这样的，枚举还是蛮清晰的吧
以此类推…..
3 4 5
3 4 6
3 5 6
4 5 6
然后就枚举不了了，结束。
所以说，这样就可以避免判重了。

代码实现

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#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

bool isprime(int a){//判断素数
    /*
    吐槽：题中n的数据范围很奇怪，
    n还有可能=1.....那k<n......
    */
    if(a == 1) return false;
    for(int i = 2;i * i <= a; i++)//不想用sqrt，还要头文件
        if(a % i == 0)//如果整除
            return false;//扔回false
    //程序都到这里的话就说明此为素数
    //否则就被扔回了
    return true;//扔回true
}

int n,k;
int a[25];
long long ans;

void dfs(int m, int sum, int startx){//最重要的递归
//m代表现在选择了多少个数
//sum表示当前的和
//startx表示升序排列，以免算重
    if(m == k){//如果选完了的话
        if(isprime(sum))//如果和是素数
            ans++;//ans加一
        return ;
    }
    for(int i = startx; i < n; i++)
        dfs(m + 1, sum + a[i], i + 1);//递归
        //步数要加一，和也要加
        //升序起始值要变成i+1,以免算重
    return ;//这一个步骤下，所有的都枚举完了
    //直接返回去
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);//输入
    
    for(int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%d",&a[i]);//循环读入
    dfs(0,0,0);//调用函数
    printf("%d\n",ans);//输出答案
    return 0;//结束程序
}